V krizi smisla tiči misel






         

26.02.2012

Kratka interaktivna delavnica ekonometrije: o korelaciji in (linearni) regresiji

Zapisano pod: Bloomingtonski zapisi, Ekonomija — andee - 26.02.2012

Danes se končno podajamo na pot »v središče problema« – govorili bomo o osnovah ekonometričnega modeliranja prek regresijskih modelov. Najprej velja nekaj besed o razliki med dvema morda malce sorodnima pojmoma, ki pa nosita čisto drugačne interpretacije: korelacijah in regresijah.

O korelaciji govorimo, ko ugotavljamo povezanost dveh spremenljivk – ali se torej dve spremenljivki gibljeta v isto smer, nasprotno smer, ali pa med njunim gibanjem ni povezave. V prvem primeru govorimo o pozitivni korelaciji, v drugem o negativni korelaciji, in v tretjem o tem, da med spremenljivkama ni posebne korelacije. Prisotnost korelacija ponavadi ugotavljamo s korelacijskimi koeficienti, najbolj znana sta Pearsonov in Spearmanov. Pri ugotavljanju korelacije igra pomembno vlogo vrsta spremenljivk (o tem smo govorili v našem prvem zapisu): v primeru, da imamo opravka z nominalnimi spremenljivkami, torej takšnimi, kjer so opredeljene le vrednosti spremenljivke (npr. spol), brez posebnih razmerij med njimi, uporabljamo kontingenčne tabele, kjer so vpisane frekvence, torej pogostosti posameznih vrednosti spremenljivke (torej npr. koliko je v vzorcu žensk in koliko moških). Za razmerje med takšnimi spremenljivkami pogosto uporabljamo hi-kvadrat statistiko, o kateri smo nekaj povedali prejšnjič. Povedali smo, da jo uporabljamo, kadar primerjamo povezanost oz. neodvisnost dveh spremenljivk, kar je prav to, kar nas v tem primeru zanima. Primerjalna hi-kvadrat statistika se v tem primeru porazdeljuje kot hi-kvadrat porazdelitev z (s-1)×(v-1) stopnjami prostosti, kjer je s število stolpcev kontingenčne tabele in v število vrstic le-te.

V primeru, da imamo opravka z ordinalnimi spremenljivkami (npr. uvrstitve nogometnih ekip) uporabljamo t.i. Spearmanov korelacijski koeficient, ki ga izračunamo po naslednjem postopku: najprej uredimo obe spremenljivki v vrstni red – enota A ima npr. rang A1 pri prvi spremenljivki in rang A2 pri drugi, enota B rang B1 pri prvi in B2 pri drugi in tako do konca. Ko tako uredimo tabelo, za vsako enoto izračunamo razlike med rangoma – za enoto A torej A1-A2, za enoto B B1-B2 itd. Tem razlikam recimo d. Vse d-je kvadriramo in seštejemo in vsoti recimo Σd2. Formula za izračun Spearmanovega koeficienta korelacije je zdaj: 1 minus (6×Σd2 deljeno z produktom n×(n2-1), kjer je n število vseh enot).

Preveč abstraktno zveni, vem, nekaterim (morda večini) verjetno zveni obupno zamorjeno, nekaterim pa tudi neznansko dolgočasno in enostavno, ker so to še vedno čiste osnove. Zato naredimo kratek, aktualen primer. Danes je Robert Kranjec postal svetovni prvak v smučarskih poletih (Congratulations!!!). Skušajmo ugotoviti, ali so rezultati današnje tekme odraz dejanskega stanja v letošnji lestvici svetovnega pokala smučarskih poletov. Ali je bilo torej tole danes nekaj posebnega in bi morda lahko celo govorili, da so razplet krojile razmere (npr. odpoved nekaterih serij), ali pa so rezultati dokaj dober odraz stanja v svetovnem pokalu in trenutnega razmerja moči med tekmovalci. Kar bomo naredili, je, da bomo za vsakega od prve štirideseterice na današnji tekmi pogledali njegovo trenutno uvrstitev v svetovnem pokalu v poletih in zapisali ustrezne range ob imenih tekmovalcev. Ker bomo upoštevali le tekmovalce, ki so bili danes med prvih štirideset, bomo tudi uvrstitve v svetovnem pokalu jemali le glede na omenjeno štirideseterico: Richard Freitag je v svetovnem pokalu na šestnajstem mestu, vendar našega junaka Prevca ter Norvežanov Skletta in Evensena, ki so pred njim, danes ni bilo med štirideseterico, zato bomo npr. Freitagu pripisali rang 13 (16 minus 3). Sicer pa gre lepo po vrsti: Robert Kranjec je bil danes prvi, torej ima prvi rang enak 1, v svetovnem pokalu pa je drugi, torej ima rang 2. Rune Velta je bil danes drugi, torej ima prvi rang enak 2, v svetovnem pokalu pa je na enajstem mestu, in ker je vseh prvih deset tekmovalcev uvrščenih med današnjo štirideseterico, ima Velta drugi rang enak 11. In tako naprej – za vajo lahko napravite ta preizkus. Podatkovne baze najdete na http://www.fis-ski.com/uk/604/610.html?sector=JP&raceid=3489 (današnji rezultati) in http://www.fis-ski.com/uk/disciplines/skijumping/cupstandings.html?&discipline=ALL&discipline=4H&discipline=SF (stanje v svetovnem pokalu v smučarskih poletih).

Ko torej napravimo omenjeni postopek na naši podatkovni bazi in izračunamo ustrezni Spearmanov koeficient, dobimo vrednost 0,806. Velja omeniti, da se koeficienti korelacije po svoji naravi gibljejo med -1 in 1, vrednosti bližje 0 pomenijo manjšo, bližje 1 (ali -1) pa večjo oz. močnejšo pozitivno (ali negativno) korelacijo. Naša vrednost torej kaže na relativno močno pozitivno korelacijo med obema spremenljivkama, kar kaže, da so današnji rezultati precej dober odraz moči v letošnjem letu in se nihče (npr. Avstrijci :) ) ne more kaj prida pritoževati nad »vetrom«, »smolo«, »žirijo« ali čem podobnim…

Toliko o tem. Če so spremenljivke intervalne ali razmernostne vrste (takšne so tudi najbolj pogoste), so seveda možnosti precej širše. Ponavadi v tem primeru ugotavljamo t.i. Pearsonov koeficient korelacije. Ne bomo se posebej spuščali v izračun slednjega, saj ga lahko dobite v vsakem statističnem paketu. Tudi prvo verzijo naše nedavne ocene korelacije med državami s samostojnim ministrstvom za kulturo in javnimi izdatki za kulturo smo opravili prek Pearsonovega koeficienta.

In zdaj naposled – naše veličanstvo regresija. Pri njej gre podobno kot pri korelacijah za ugotavljanje povezave med spremenljivkami: dvema ali večimi. Vendar pa za razliko od korelacije, kjer ne vemo, katera spremenljivka vpliva na katero, na kakšen način, pa tudi ne točne vrednosti tega vpliva, lahko vse to v primeru regresije izračunamo. Zato predstavlja regresija najbolj temeljno orodje ekonometrije in tudi velikega dela znanosti nasploh, saj nam nudi najboljši vpogled v razmerja med posameznimi spremenljivkami.

Regresij obstaja seveda tisoče vrst. Zlasti v zadnjih štiridesetih letih je postala ekonometrija, ki temelji na regresijah, osnovni gradnik ekonomije in žal v veliko primerih prispevki na področju ekonomije pomenijo le še poglobljeno ekonometrično analizo nekih precej preprostih ekonomskih modelov. Vedno večji poudarek je torej na ekonometriji in vedno manjši na ekonomski teoriji. Tudi v kulturni ekonomiki je žal vedno bolj tako.

Danes pa bomo pričeli z obravnavo linearne regresije. Kot že omenjeno, pri regresijah ugotavljamo vzročno in številsko povezavo med npr. dvema spremenljivkama. Zaradi tega ponavadi to zvezo zapišemo v obliki enačbe – odvisna spremenljivka (recimo ji y) je enaka neki funkciji neodvisne (ali neodvisnih) spremenljivk. Takšne enačbe so lahko zelo zapleten in vsebujejo vse od enojnih in dvojnih integralov (Riemann-Stieltjesovega, Laplaceovega, Lebesgueovega, …), diferencialnih enačb, vektorskih polj, včasih ne gre le za eno ali dve, marveč marsikdaj tudi za neskončno mnogo enačb (npr. pri instrumentalnih spremenljivkah in posplošeni metodi momentov). Zato je primerno začeti na začetku, z najbolj enostavno možnostjo – ko sta spremenljivki dve, in ko je zveza med njima linearna: y je enako neki a plus b krat x plus e. Torej: y=a+bx+e. Vrednost e je pri tem slučajna napaka pri ocenjevanju modela. Če izvzamemo slučajno napako, dobro vidimo, da gre pri enačbi za premico (y=a+bx), ki seka y os v točki (0,a) in ima smerni koeficient enak b. Ker ponavadi poznamo vse opazovane vrednosti x in y, nas zanima samo dvoje: oceniti koeficienta a in b ter to napraviti na tak način, da bo ocenjena napaka e čim manjša. Napravimo zdaj nekaj osnovnih predpostavk, v ekonometriji jim rečemo predpostavke Gauss-Markova, in so osnovno izhodišče, na katerem bomo gradili tudi vse nadaljnje regresijske modele in izpeljanke:

1) Linearnost modela: o tem smo že govorili in pomeni to, da je zveza med odvisno in neodvisnimi spremenljivkami linearna, bodisi v izvornem modelu bodisi po ustrezni transformaciji neodvisnih spremenljivk. Pri tem je potrebno biti zelo pozoren: tudi model y=b×cosx+3 je linearen – če namesto x uvedemo novo spremenljivko z=cosx, lahko model zapišemo kot y=bz+3, in postane zelo preprost linearen model. To dejstvo zelo poveča uporabnost prepostavke, saj je zelo veliko modelov torej takšnih, da so lahko s primerno transformacijo linearni v neodvisnih spremenljivkah (primer takšnega, ki pa to ne more biti, je npr. y=(x↑b)+3, kjer je b parameter, ki ga ocenjujemo in x↑b pomeni x na potenco b – takšnega modela ni možno obravnavati kot linearnega)

2) Neodvisnost med ocenjevalnimi spremenljivkami: ta predpostavka pravi, da med neodvisnimi spremenljivkami na desni strani enačbe ne more biti popolne linearne odvisnosti, da torej ene ne moremo izraziti kot kombinacijo drugih. Več o tem v nadaljevanju.

3) Eksogenost neodvisnih spremenljivk: z drugimi besedami ta težek izraz pravi, da so slučajne napake nekorelirane z neodvisnimi spremenljivkami, da torej ni »notranje«, »endogene« povezanosti med napako in spremenljivko, da bi bila ena lahko izražena kot funkcija druge. Kar meri ena, druga pač ne meri, preprosteje rečeno.

4) Homoskedastičnost in odsotnost avtokorelacije pri slučajnih napakah: spet nekaj »težkih« besed. V resnici gre samo za to, da imajo slučajne napake konstantno, »homoskedastično«, enotno varianco, torej razpršenost (o pojmu variance oz. disperzije smo govorili že prvič), da se torej ta ne spreminja med opazovanji, ter za to, da slučajne napake niso med seboj odvisne – da bi bila na primer slučajna napaka opazovanja št. 5 kakorkoli odvisna od slučajne napake pri opazovanju št. 1. Takšni odvisnosti pravimo avtokorelacija, zato v tem primeru pravimo, da zahtevamo odsotnost avtokorelacije pri slučajnih napakah.

5) Nestohastičnost neodvisnih spremenljivk: neodvisne spremenljivke so podane z opazovanji in niso nadalje neka funkcija slučajnih spremenljivk in opazovanj. Preprosteje povedano, njihove vrednosti so dane od zunaj in se ne spreminjajo.

6) Slučajne napake so normalno porazdeljene. Tukaj ni kaj posebnega za dodati. O normalni porazdelitvi smo govorili v drugem zapisu.

Zakaj so vse te predpostavke tako pomembne? Predstavljajo zelo ozko ogrodje, v okviru katerega je linearna regresija ustrezen model, s katerim lahko opišemo pojav, ki ga preučujemo. V nadaljevanju dela se bo izkazalo, da so zgornje predpostavke zelo velikokrat kršene v dejanskem svetu, zato je model linearne regresije le zelo grobo orodje za ocenjevanje in zahteva številne prilagoditve in dopolnitve. Prav zato pa je ekonometrija tako zanimiva in (morda žal..) tako obsežna in kompleksna, da bi čim bolje opisala svet, ki ga živimo.

Več o vsem pa naslednjič, ko bomo nadaljevali z linearno regresijo, tudi z zanimivimi primeri, ki jih bom skušal izbrskati do tedaj.

  • Share/Bookmark

24.02.2012

Nekaj zanimivih povezav

Zapisano pod: Bloomingtonski zapisi, Ekonomija, miks — andee - 24.02.2012

Podajam nekaj zanimivih, predvsem ekonomskih povezav, na katere sem naletel v zadnjem času:
1) Marno Verbeek: A Guide to Modern Econometrics. Priporočam – odlična knjiga z dobrim, celovitim in ne pretirano zahtevnim pregledom čez celotno ekonometrično področje, vključujoč tako mikro kot makroekonometrijo.
2) David Romer: Advanced Macroeconomics. Tole deluje odlično, dober pregled sodobne makroekonomije z dobro razlago in ravno pravo mero enačb. Sam sem jo včeraj pregledal in pričel brati, mislim, da je bolj “normalna” in pregledna kot tale, ki jo ravno zaključujem: Ljungqvist, Sargent: Recursive Macroeconomic Theory. Je pa res, da slednja vsebuje veliko zelo podrobnih nalog, ki so rešene tule. Slednja knjiga je študijsko gradivo pri predmetu Macroeconomic Theory II, ki ga poslušam v Bloomingtonu.
3) Da damo še nekaj iz mikroekonomije – Lars A. Stole: Lectures on the Theory of Contracts and Organizations. Preverjeno in zelo dobro. Resda vključuje samo dva dela teorije pogodb – moralni hazard in mechanism design, vendar je odličen uvod in kratek pregled spoznanj s teh področij, ki se jih tudi sam lotevam v svoji nalogi.
4) Seveda pa je na področju mikroekonomije še vedno “zakon” tale knjiga, vsaj kar se podiplomske ravni tiče – Mas Colell, Whinston, Green: Microeconomic Theory. Vse rešitve nalog v knjigi najdete tukaj. Po tej knjigi striktno delajo na doktorskih predavanjih v Bloomingtonu, po knjigi smo delali tudi na predavanjih v okviru doktorskega študija v Ljubljani. Skratka, vredna branja za vsakega, ki ga to področje bolj zanima.
5) V javnosti je novi Zakon o avtorski in sorodnih pravicah, ki naj bi spremenil dosedanje nevzdržno monopolno ravnanje institucij na tem področju. Pri združenju Asociacija smo prejeli klice po protestu zoper ta zakon, seveda s strani monopolnih organizacij samih. V opozorilo in vednost, če bi kdo želel predstaviti kakšno koli svojo spremembo na zakon – dopolnila so možna še do 16.3.2012.
6) Za konec pa nekaj bolj bizarnega: tale video predstavlja rezultate skrite kamere za kampanjo stranke SS (prav slišite…) za županske volitve. Vredno ogleda, predvsem pa resničnega premisleka, kaj in koga volimo na volitvah.

  • Share/Bookmark

19.02.2012

Kratka interaktivna delavnica ekonometrije: preverjanje hipotez

Zapisano pod: Bloomingtonski zapisi, Ekonomija — andee - 19.02.2012

Nadaljujmo torej, kjer smo prejšnjič končali, pri preverjanju hipotez torej. Pojem hipoteze kot takšne tvori osnovo znanstvenega razmišljanja. Ne želim iti sicer preveč v popperjansko smer, kjer velja za znanost le tisto, kar je možno falsificirati, torej zapisati kot hipotezo, ki je podvržena preverjanju in mora biti potencialno ovrgljiva. Kot je dobro znano, zato za Popperja npr. Freudove in Marxove teorije niso znanost, ker preprosto niso zmožne producirati preverljivih oz. bolje ovrgljivih trditev. Ampak to bi bila tema za nek drug, bolj filozofsko obarvan zapis. Za nas naj bo dovolj to, da je hipoteza trditev, ki razdeli vse možnosti sveta v dva dela: enega, ki je v skladu s t.i. ničelno hipotezo (angl. null hypothesis), ki npr. pravi, da je nek koeficient v enačbi enak 0 (da npr. dohodek ne vpliva na rast prebivalstva, da je torej ustrezen koeficient v regresijski enačbi pri dohodku enak 0); ter alternativno hipotezo, ki trdi nasprotno, da je torej isti koeficient v enačbi različen od 0, da torej dohodek vpliva na rast prebivalstva. Potrebno je še dodati, da nas včasih zanima samo različnost od 0, v tem primeru govorimo o t.i. dvostranskih testih, v primeru, da pa vemo tudi za »smer« preverjanja, da torej želimo preveriti, ali je npr. dohodek pozitiven dejavnik rasti prebivalstva, v tem primeru govorimo o enostranskih testih (logično, ker nas zanima samo ena, npr. pozitivna stran).

Še ena kratka, popperjanska misel je na mestu. Nobene od trditev v popperjanskem znanstvenem svetu ne moremo dokončno potrditi. Naj dam razvpit primer: denimo, da želimo preveriti ničelno hipotezo, da so vsi labodi na svetu beli. Seveda je svet neskončen, poleg tega se še razvija (in to ponavadi nepredvidljivo) iz dneva v dan, zato nikoli ne bomo mogli preveriti beline čisto vseh labodov na svetu. Vedno obstaja možnost, da obstaja tudi kak siv ali črn labod, kot v knjigi Nassima Taleba. Za ovrženje ničelne hipoteze »vsi labodi so beli« pa je seveda dovolj že en sam samcat črn labod. Zato ničelne hipoteze nikdar ne moremo dokončno potrditi, lahko pa jo ovržemo. Toliko samo v opomin.

Najbolj osnoven postopek preverjanja hipotez, ki ga učijo osnovni učbeniki statistike, je sestavljen iz štirih delov. Najprej, določimo osnovno in alternativno hipotezo. Drugič, izberemo stopnjo zaupanja, pri kateri želimo ugotoviti ali lahko hipotezo ovržemo ali ne. Najbolj pogosto  so v uporabi stopnje zaupanja 90%, 95% in 99%. Stopnje zaupanja nam povedo, kako veliko bo in kje se bo pričelo naše kritično območje, torej območje, v katerem lahko brez skrbi zavrnemo ničelno hipotezo (o tem smo nekaj spregovorili zadnjič).

Tretjič, izberemo testno statistiko, torej cenilko (ocenjevalec parametra), s katero bomo preverjali našo hipotezo. Tu pride v poštev npr. naša Z (ali tudi t) statistika, ki smo jo omenjali prejšnjič, torej vrednost spremenljivke, zmanjšana za njeno povprečno vrednost in deljena z standardnim odklonom v populaciji. Kasneje bomo videli, da je ta testna statistika le posebna vrednost t.i. Wald statistike, v primeru, da imamo opraviti le z enim ocenjevanim parametrom, torej le z eno omejitvijo (angl. constraint).

Ostane še zadnji, četrti korak. V njem izračunamo vrednost eksperimentalne statistike, torej vrednosti cenilke pri pravi vrednosti spremenljivke in jo primerjamo s kritično vrednostjo testne statistike, torej tisto vrednostjo, ki je na meji kritičnega območja. V primeru, da vrednost eksperimentalne statistike presega kritično vrednost, lahko ničelno hipotezo zavrnemo, v nasprotnem tega ne moremo storiti. Velja še omeniti, da v redkih primerih nekaterih testnih statistik (npr. p vrednost) gledamo tudi čim manjšo vrednost statistike, torej v primeru, da je vrednost manjša od določene vrednosti (npr. 0.1, 0.05, 0.01), lahko ničelno hipotezo zavrnemo. Vendar v bolj preprosti praksi ocenjevanja hipotez pogosteje srečamo prvo možnost, drugo v praksi srečamo le pri sicer pogostih p vrednostih (ki jih dobite npr. pri regresijah v SPSS).

Da torej ponovimo: razen pri statistikah p, nas zanima ali je vrednost eksperimentalne statistike večja od kritične vrednosti, če to velja, lahko hipotezo zavrnemo, v nasprotnem tega ne moremo storiti.

Naredimo kratek primer, ki je iz skripte za predmet Statistika za FDV. V anketi SJM 2002/1, pri vzorcu n velikosti 1115, je bilo število članov v slovenskih gospodinjstvih 3.27 in varianca 2.032. Ali lahko pri 10% stopnji značilnosti (vemo, da je stopnja značilnosti 1-(minus)stopnja zaupanja) trdimo, da je povprečno število članov gospodinjstva v Sloveniji statistično značilno različno od 3?

Prvi korak: ničelna hipoteza. Ponavadi je ničelna hipoteza enakost, torej bo naša hipoteza, da je število članov gospodinjstva enako 3. Alternativna hipoteza bo dvostranska, saj nas smer ne zanima, zanima nas le,da je vrednost različna od 3 (in ne npr. večja ali manjša od 3).

Drugi korak: stopnja zaupanja. V našem primeru je stopnja značilnosti enaka 10% (torej je stopnja zaupanja enaka 90%). Kritično območje (ker zaenkrat predpostavljamo normalne porazdelitve, gre za z statistiko) je dvostransko, torej iščemo z-vrednost pri stopnji značilnosti 0.05 (polovica od 10% – ker je test dvostranski, moramo vrednost deliti z 2). Iz z-tabele v prejšnjem prispevku lahko preberemo, da gre za vrednost plus minus 1.65.

Tretji korak: izberemo testno statistiko, ki bo našem primeru (velik vzorec, predpostavljena normalna porazdelitev) kar običajna t-statistika, ki ima značilno obliko, ki smo jo omenili že prejšnjič: ocenjena povprečna vrednost minus povprečna vrednost v ničelni hipotezi, oboje deljeno z ocenjeno standardno napako v populaciji. Ker slednje nimamo, moramo v našem primeru standardno napako vzorca (koren iz variance, torej koren iz 2.032) deliti s korenom iz velikosti vzorca, torej korenom iz 1115. Rezultat je: 0.0427. Vrednost t-statistike torej zdaj izračunamo po prejšnji formuli: 3.27 (ocenjena povprečna vrednost v vzorcu 1115) minus 3 (vrednost v ničelni hipotezi), oboje skupaj deljeno z 0.0427. Rezultat je: 6.32.

Še zadnji korak tega postopka: primerjamo vrednosti ocenjene (eksperimentalne) statistike, ki smo jo izračunali ravnokar (torej 6.32) in kritične vrednosti statistike, ki je plus minus 1.65 (glej drugi korak malo prej). Ker je naša vrednost po absolutni vrednosti precej večja od kritične, to pomeni, da lahko hipotezo zavrnemo pri stopnji značilnosti 10%. Pri tej stopnji značilnosti lahko torej trdimo, da je povprečno število članov gospodinjstva značilno različno od 3 (oz. da ni enako 3, kar je bila ničelna hipoteza).

Tako…Takšnim testom pravimo tudi t-testi in predpostavljajo, da imamo opravka z normalno porazdelitvijo, prav tako pa gre pri njih le za eno omejitev, torej je ničelna hipoteza sestavljena le iz ene enačbe z enim parametrom (npr. povprečno število članov je enako 3). Le malce bolj zapletemo stvari, če imamo opraviti s hi-kvadrat testi (med njimi omenimo le Pearsonovega – že tako porabljamo kar veliko časa pri teh čistih osnovah, ki so bolj statistične in ne toliko ekonometrične). Kot že ime pove, so hi-kvadrat testi vezani na hi-kvadrat porazdelitev, ki smo jo podrobneje spoznali prejšnjič. Z njimi torej preverjamo predvsem a) ali ima porazdelitev naše spremenljivke obliko hi-kvadrat spremenljivke; ali b) ali sta dve dani spremenljivki med seboj neodvisni. V podrobnosti tega testa tule ne bomo šli, če koga to zanima, naj vpraša. Vsi štirje koraki od prej so enaki, le da je porazdelitev seveda hi-kvadrat (in ne normalna, kot je bila prej), seveda pa je tudi postopek izračuna hi-kvadrat statistike drugačen kot prej prikazani postopek izračuna t-statistike. Več lahko preberete na tejle povezavi.

Ker smo prejšnjič govorili tudi o F – porazdelitvi, omenimo še pripadajoči F – test. F – test je vezan na ustrezno (seveda F…) porazdelitev, torej se ponovno spremenijo postopki izračuna statistike. Vendar velja, da si zapomnite zgornje štiri osnovne korake, ki so v takšni ali drugačni obliki vedno prisotni pri preverjanju hipotez! F – test se najpogosteje uporablja pri preverjanju, ali so povprečne vrednosti dveh ali večih populacij, ki sledijo normalni porazdelitvi, med seboj enake ali različne. Z njim lahko torej preverjamo ali sta srednji vrednosti neke spremenljivke pri dveh opazovanih populacijah med seboj enaki, kar je pogosto zlasti pri tako imenovani »analizi variance« (ANOVA), ki je ena osnovnih funkcij v vseh statističnih paketih, npr. v SPSS. F – test uporabljamo tudi, ko hočemo preveriti ali smo z dodatnimi specifikacijami modela kaj pridobili pri učinkovitosti ocenjevanja. V vsakem primeru pa velja naš četrti korak: v primeru, da vrednost izračunane (t, hi-kvadrat, F, …) statistike presega kritično vrednost (ki jo vedno preberemo iz tabel iz prejšnjega prispevka), lahko ničelno hipotezo, kakršna koli že je, zavrnemo, v nasprotnem tega ne moremo storiti (in je najverjetneje točna).

Za konec teh uvodnih sestavkov izpolnimo še obljubo in se podajmo za hip malce resneje v ekonometrično preverjanje hipotez, omenimo torej Waldove, LM in LR teste. Omenjali smo že pojem omejitve, restrikcije (angl. constraint), ki je bistvo preverjanja hipotez, ponavadi tvori kar hipotezo samo. V FDV-jevskem primeru, ki smo ga prej prikazali, je bila restrikcija to, da je srednja vrednost članov gospodinjstva enaka 3. T-test, ki smo ga uporabili v tem primeru, je samo poseben primer Waldovega testa, ki je tudi najpogostejši test v ekonometričnih izpeljavah. Zanj je značilno, da vrednost hipoteze (torej restrikcije) primerjamo le z vrednostmi, ki niso vezane na restrikcije (v našem primeru uporabimo torej vrednost 3.27, ki je bila dejanska, izračunana vrednost). Za razliko od njega uporablja LR test (likelihood ratio test oz. test verjetnostnih razmerij) primerjavo z razliko vrednosti dveh statistik, kjer je ena izračunana le pri neomejenih in druga le pri omejenih/restriktivnih vrednostih statistike. Velikokrat je LR test bolj priporočljiv od Waldovega, saj je slednji odvisen od načina, kako postavimo vprašanje. Z Waldovim testom tako dobimo različne rezultate v primerih, da preverjamo ali je vrednost nekega parametra enaka 0 ali log 1 (ki je prav tako enak 0…), saj sta lahko porazdelitvi in slučajni napaki za obe vrednosti drugačni.

Tretji test in tretja možnost je test Lagrangevega multiplikatorja (Lagrange Multiplier oz. LM Test) oz. t.i. score test, pri katerem vrednost statistike ocenjujemo le za omejeni model, torej model na temelju restrikcij. To je torej še tretja možnost ki jo imamo: pri Waldovem testu postavljamo ocene le na podlagi neomejenega modela, pri LM testu le na podlagi omejenega, pri LR testu pa uporabimo enega in drugega. Eno pomembnejših spoznanj statistike druge polovice prejšnjega stoletja je bilo, da so vsi trije testi asimptotsko enaki (to je lepo prikazano tule), to pomeni, da se vrednosti vseh treh testov v osnovi ne bi smele preveč (ali celo sploh) razlikovati – uporaba kateregakoli od njih pa je potem samo odločitev glede na dane lastnosti modela, ki ga ocenjujemo. Kot rečeno pa je najpogosteje v uporabi Waldov test.

Tako, s tem smo sklenili tale hiter trodelni statistični pregled, naslednjič pričnemo z linearnimi regresijskimi modeli, najprej seveda s slavno metodo najmanjših kvadratov oz. OLS modeli, ki so tudi najbolj enostavni in osnovni modeli v ekonometriji.

  • Share/Bookmark

12.02.2012

Kratka interaktivna delavnica ekonometrije: preverjanje hipotez in statistične porazdelitve

Zapisano pod: Bloomingtonski zapisi, Ekonomija — andee - 12.02.2012

Tako, ponovno smo »skupaj«. Kot obljubljeno bomo danes nekaj povedali o še eni osnovni statistični temi, ki jo bomo »krvavo« potrebovali v nadaljevanju teh zapisov: preverjanju hipotez. Ker predvidevam, da je med vami nekaj takšnih, ki želite več slišati o osnovah in nekaj takšnih, ki se ob marsičem povedanem krepko dolgočasite, bomo skušali zadovoljiti obojim. V prvem delu bomo tako pogledali nekaj osnovnih dejstev o normalni porazdelitvi, ki je najpogosteje uporabljena porazdelitev pri osnovnem preverjanju hipotez, torej takšnem, ki nas bo zanimalo vsaj v začetku te delavnice. Za tiste, ki vas tema zanima bolj, bomo čisto v kratkem povedali nekaj dejstev o drugih vrstah porazdelitev, še vedno na normalno porazdelitev vezanih hi-kvadrat, F ter Student-t porazdelitvah, pogosto uporabljanih binomski, Bernoullijevi, negativni binomski in Poissonovi porazdelitvi, ter tudi malce manj običajnih Pareto, beta, gama in Dirichlet porazdelitvah, ki se občasno tudi pojavljajo v statističnih in predvsem ekonometričnih problemih.

V drugem delu zapisa (verjetno jutri) bo govora o tistem, kar nas najbolj zanima, torej preverjanju hipotez. Ker izhajamo iz normalne porazdelitve, bomo prikazali predvsem najbolj običajen (eno in dvostranski) t-test, omenili bomo tudi F-test in hi-kvadrat test. Kot že obljubljeno prejšnjič, pa bomo nekaj malega spregovorili tudi o »sveti trojici« testov, ki se najpogosteje uporabljajo v ekonometriji, to so Wald, LM (Lagrange Multiplier) in LR (Likelihood Ratio) test.

Začnimo torej. Normalna porazdelitev je tista porazdelitev, ki jo v matematičnih, statističnih in ekonometričnih nalogah najpogosteje srečamo. Več razlogov za to je, na prvem mestu velja omeniti njeno relativno enostavnost pri uporabi v matematični analizi, njeno podvrženost centralnemu limitnemu izreku, ki pravi, da je pod določenimi (relativno pogosto izpolnjenimi) pogoji vsota vrednosti katerekoli slučajne spremenljivke porazdeljena normalno, ter dejstvu, da kar veliko pojavov, ki jih srečamo v naravi in družbi dovolj natančno sledi obliki normalne porazdelitve. Normalno porazdelitev v matematičnem smislu dobimo, če v eksponentu eksponentne funkcije uporabimo kvadratno polinomsko obliko. Gre torej za funkcijo osnovne oblike e^(ax^2+bx+c), z ustrezno prirejenimi koeficienti seveda.

Kot vsako statistično porazdelitev tudi normalno praviloma opisujemo s srednjo vrednostjo in varianco (glej zapis preteklega tedna). V praksi pa najpogosteje uporabljamo t.i. standardno normalno porazdelitev, kjer sta srednja vrednost in varianca vnaprej določeni: srednja vrednost, torej pričakovana vrednost oz. povprečje je enako 0, varianca pa je enaka 1. Izkaže se, da je s takšno porazdelitvijo zelo enostavno računati in da je marsikatero porazdelitev, predvsem pa vse tiste normalne oblike možno hitro preslikati v standardno normalno porazdelitev. V primeru, da imamo opravka s katerokoli normalno porazdelitvijo, ki ima npr. srednjo vrednost μ in varianco σ2, dobimo iz nje standardno normalno porazdelitev tako, da od vrednosti spremenljivke odštejemo μ in rezultat delimo s σ. V osnovni statistiki je podoben trik uporabljen zelo velikokrat.

Vrednosti normalne porazdelitve so ponavadi zapisane v t.i. z-tabeli, ki jo lahko vidite spodaj, kjer so v levem stolpcu in zgornji vrstici vrednosti standardizirane normalne spremenljivke (torej Z), v sami tabeli pa so vrednosti verjetnosti, da bo slučajna spremenljivka, ki jo opazujemo, zavzela vrednost, manjšo od Z, torej manjšo od pripadajoče vrednosti v levem stolpcu, z dodatno decimalko iz zgornje vrstice. Če torej vzamemo vrednost 0 (skrajno levo 0 in zgoraj 0), vidimo, da v tabeli stoji vrednost 0.5. To je povsem logično, saj vemo, da je standardizirana normalna porazdelitev simetrična s srednjo vrednostjo 0, torej je leži polovico na levo stran od ničle in polovico na desno stran od ničle. Skupna vrednost ploščine pod krivuljo je enaka 1 (kar sledi iz definicije verjetnostne gostote, vendar tudi o tem kdaj drugič), na vsako stran je enaka množina vrednosti, torej na vsaki strani leži točno ena polovica, oziroma 0.5, kar je vrednost v tabeli. Bolj kot gremo navzdol in desno, večje so vrednosti, ker je pač verjetnost, da Z zavzame vrednost npr. manjšo od 2.75 pač večja, kot da zavzame vrednost manjšo od 1. Preprosto iz tega razloga, ker je druga verjetnost že vsebovana v prvi – vedno, ko je spremenljivka manjša od 1, je s tem manjša tudi od 2.75.

Zgoraj: Tabela vrednosti standardne normalne porazdelitve

Poglejmo še vrednosti v tabeli: verjetnost, da je vrednost spremenljivke manjša od 2.75 dobimo tako, da se pomaknemo v levem stolpcu na vrednost 2.7 (skoraj čisto spodaj), vrednost v zgornjem stolpcu pa mora biti enaka 0.05 (ker hočemo vrednost za 2.7+0.05=2.75). Verjetnost je torej enaka 0.9970, kar pomeni, da je kar 99.7% verjetnosti, da bo spremenljivka imela vrednost manjšo od 2.7. Verjetnost, da bo imela spremenljivka vrednost manjšo od 1 najdemo po enakem ključu: v levem stolpcu se pomaknemo na številko 1.0 (začetek tretje kolone), v zgornjem pa ostanemo na začetku, torej pri vrednosti 0.00 (saj hočemo vrednost za 1.0+0.00=1.00). Pravilna vrednost, prebrana iz tabele, je torej 0.8413, torej je 84,13% verjetnosti, da bo spremenljivka imela vrednost, manjšo od 1. Tako nekako funkcionira ta tabela, pa tudi podobne tabele za druge porazdelitve. Tabela nam neštetokrat pride prav pri preverjanju najbolj osnovnih statističnih hipotez, kar bomo pokazali v zaključku zapisa.

Normalno porazdelitev lepo opiše tudi oblika krivulje, ki je značilno zvonasta in simetrična, kjer so velike vrednosti spremenljivke skoncentrirane v sredini porazdelitve, »osamelci«, torej izstopajoče vrednosti pa v repih. Značilno je, da se skorajda celotna porazdelitev (99%) nahaja v razponu plus minus treh standardnih odklonov spremenljivke. Za normalno porazdelitev je tudi značilno, da ima opredeljena tudi koeficienta sploščenosti in asimetrije, torej tretji in četrti središčni moment (glej pretekli zapis). Prvi ima vrednost 0, drugi pa 3. To dejstvo uporablja t.i. Jarque-Bera test, ki je eden najpogostejših načinov, kako preverjamo normalno porazdelitev neke spremenljivke. Vendar to presega naše namene. Spodaj prilagam značilno sliko zvonaste oblike normalne porazdelitve:

 

Zgoraj: Geometrijska oblika normalne porazdelitve

Naj povemo nekaj več še o drugih porazdelitvah:

Studentova t porazdelitev – to porazdelitev pogosto uporabljamo, ko imamo opravka s premajhnimi vzorci oz. prevelikih vplivom »osamelcev«. Pri tem najpogosteje velja pravilo, da je mejna velikost vzorca enaka 30 – če je vzorec enak ali večji, ponavadi uporabljamo normalno porazdelitev, če je manjši pa Studentova t porazdelitev. Za to porazdelitev je značilno, da ima večji delež v »repih«, zato se bolje prilega porazdelitvam, ki imajo večjo težo v »osamelcih«. Pri osnovnem računanju s Studentovo t porazdelitvijo je glavna razlika do normalne v tem, da vrednosti standardnih napak (pri izračunu npr. z-vrednosti) delimo s korenom velikosti vzorca. S tem dobimo vrednosti, ki jih lahko primerjamo s standardno normalno porazdelitvijo, s katero znamo računati. Spodaj je tudi slika te nekoliko bolj »špičaste« (večja in ožja koncentracija okrog povprečne vrednosti ter daljši repi, torej večja odstopanja v skrajnosti) porazdelitve.

 

Zgoraj: Geometrijska oblika Studentove-t porazdelitve

Hi-kvadrat porazdelitev – je še ena od porazdelitev, ki je tesno vezana na normalno porazdelitev. V splošnem velja, da je vsota n neodvisnih standardnih normalnih spremenljivk porazdeljena kot hi-kvadrat porazdelitev z n stopnjami prostosti (stopnje prostosti označujejo prostor, ki ga ocenjevanje nekega modela ali spremenljivke dopušča, praviloma velja, da je večje število stopenj prostosti tudi bolj zaželeno; kako izračunamo stopnje prostosti pri neki porazdelitvi je ponavadi jasno in preprosto določeno oz. povedano, ponavadi pa so stopnje prostosti odvisne predvsem od tega, koliko informacij porabimo pri ocenjevanju porazdelitve, zato več kot nam ostane »informacij« »na zalogi«, večje so stopnje prostosti). Hi-kvadrat porazdelitev je uporabna pri vseh problemih, ki vključujejo ocenjevanje variance normalne spremenljivke, zelo pogosto pa hodi z roko v roki s F-porazdelitvijo, ki jo predstavljamo kot naslednjo.

Spodaj prilagam sliko hi-kvadrat porazdelitve, ki ima manj značilno obliko, kot predhodni dve. Prilagam tudi tabelo hi-kvadrat vrednosti, kjer igrata ponovno ključno vlogo levi stolpec in zgornja vrstica: v levem stolpcu so vrednosti stopinj prostosti, v zgornji vrstici pa so vrednosti zaupanja, ki jih želimo doseči. Vendar je te vrednosti potrebno odšteti od 1 – govorijo namreč o velikosti območja, ki je desno od kritične vrednosti, kot bomo videli v nadaljevanju pa ponavadi želimo, da je desno od kritične vrednosti čim manj vrednosti, temu območju namreč rečemo kritično območje in predstavlja območje, ki presega mejno vrednost verjetnosti, da zavrnemo pravilno hipotezo. V kolikor naša vrednost pade v to območje, lahko rečemo, da ne moremo več govoriti o pravilni hipotezi, torej lahko hipotezo mirno zavrnemo. V primeru naše tabele, denimo, da želimo veljavnost hipoteze oceniti z vsaj 95% gotovostjo. Izbrali bomo torej vrednost 1-0.95=0.05, gledali bomo torej vrednosti v stolpcu pod številko 0.05 (torej četrtem od desne). V kolikor bo torej naša ocenjena vrednost hi-kvadrat statistike pri npr. 23 stopnjah prostosti presegala 35.172 (vrednost v tabeli, kjer je levi stolpec enak 23, zgornja vrstica pa enaka 0.05), bomo lahko hipotezo zavrnili z 95% gotovostjo. Vendar se k temu povrnemo, ko bomo govorili o preverjanju hipotez.

Zgoraj: Geometrijska oblika hi-kvadrat porazdelitve

Zgoraj: Tabela vrednosti hi-kvadrat porazdelitve

F-porazdelitev – še ena porazdelitev, ki jo pogosto najdete v tabelah vseh statističnih in ekonometričnih programov. Podobno kot Studentova-t in hi-kvadrat je tudi F porazdelitev vezana na normalno porazdelitev, dobimo jo kot razmerje dveh med seboj neodvisnih hi-kvadrat spremenljivk. Podobno kot hi-kvadrat porazdelitev se tudi F-porazdelitev zelo pogosto uporablja pri analizi variance, na njeni osnovi je izveden tudi t.i. F-test, kjer primerjamo vsote kvadratov ocenjenih vrednosti in ostankov neke regresije (o tem več, ko pridemo do regresij). Ker gre pri F-porazdelitvi ponavadi za razmerje dveh spremenljivk, pri njej nastopata dve vrednosti stopenj prostosti, ena za spremenljivko v števcu in ena za spremenljivko v imenovalcu.

Osnovna oblika F-porazdelitve je na sliki spodaj, še nižje najdete tudi tabelo F vrednosti. Pri slednji nastopi problem, saj imamo tri kriterije za tabelo (in torej tri dimenzije): stopnje prostosti spremenljivke v števcu, stopnje prostosti spremenljivke v imenovalcu, ter stopnjo gotovosti. Zato je teh tabel ponavadi več, po ena za vsako želeno stopnjo gotovosti. Spodnja je za 95% stopnjo gotovosti (številka 0.05, ki se pojavlja, je t.i. stopnja značilnosti, ki je nič drugega kot 1-(stopnja gotovosti), torej 1-0.95=0.05).

Zgoraj: Geometrijska oblika F - porazdelitve

 

Zgoraj: Tabela vrednosti F - porazdelitve za stopnjo značilnosti 0.05

Povejmo nekaj hitrega še o drugih statističnih porazdelitvah:

Binomska porazdelitev – o njej govorimo, kadar je slučajna spremenljivka rezultat poskusa, kjer sta rezultata lahko samo dva: A ali B, da ali ne, pismo ali grb torej. Ocenjujemo torej verjetnost, da se je v n poskusih dogodek A zgodil točno k-krat. Ni pa nujno, da je verjetnost obeh dogodkov enaka, torej enaka ½, kot je to primer pri metanju kovanca. Važno je le, da sta vrednosti le dve, torej je v primeru, da je verjetnost odgovora »da« enaka 0.3, verjetnost odgovora »ne« enaka 1-0.3=0.7. V tem primeru gre torej za diskretno porazdelitev (t.j. porazdelitev, ki lahko zavzame števno mnogo vrednosti), ki se z večanjem števila poskusov bliža normalni porazdelitvi, vendar je od nje različna. To se bolj vidi na sliki, ki jo prilagam spodaj. Drugačen kot pri normalni spremenljivki je tudi izračun srednje vrednosti kot variance, ki je rezultat dveh precej preprostih formul, ki jih najdete tukaj (poglavje Mean and Variance).

 

Zgoraj: Geometrijska oblika binomske porazdelitve

Bernoullijeva porazdelitev – je še bolj preprosta od binomske. Pri njej gre za slučajno spremenljivko, ki je rezultat le enega poskusa. Pričakovana vrednost je torej enaka kar verjetnosti, da se zgodi dogodek A (in ne dogodek B, možna sta ponovno le ta dva dogodka), varianca pa je enaka produktu verjetnosti obeh dogodkov. Da malo prekinem tole morda monotono podajanje, nekaj o uporabnosti: tako binomska kot Bernoullijeva porazdelitev sta še kako uporabni v ekonometriji, predvsem pri analizi modelov diskretne izbire, torej logit, probit in tobit modelov. O pomembnosti tovrstnih analiz naj govori dejstvo, da je za rezultate na tem področju Nobela prejel Daniel McFadden v letu 2000. Kot me je pravilno opozoril komentator Mare, bi lahko tovrstne modele relativno preprosto uporabili pri naši večkrat omenjani analizi dejavnikov, da ima neka država samostojno kulturno ministrstvo.

Negativna binomska porazdelitev – je podobna binomski, le da sedaj ocenjujemo verjetnost, da se bo dogodek A v n-tem poskusu zgodil točno k-tič. Čeprav na prvi pogled zveni podobno ali celo enako (kar pa ni…) binomski, gre za nekaj bistvenih razlik. Predvsem gre za različno dojemanje časovnega dejavnika, kar povzroči tudi razlike pri izračunih pričakovane vrednosti in variance. Tudi negativna binomska porazdelitev je v uporabi na področju mikroekonometrije, kar kaže več nedavnih prispevkov s tega področja.

 

Zgoraj: Geometrijska oblika negativne binomske porazdelitve

Poissonova porazdelitev – še zadnja, ki jo bomo posebej omenili. Pri njej gre za izračun verjetnosti, da se v nekem fiksnem intervalu zgodi točno k dogodkov, če je znano povprečje, kolikokrat se dogodek v tem času dogodi in so dogodki v času med seboj neodvisni. Matematične oblike Poissonove porazdelitve so ponovno nekoliko bolj kompleksne kot pri binomskih, značilno za porazdelitev je predvsem, da sta tako srednja vrednost kot varianca enaki, torej npr. nekemu parametru λ, ki nastopa tudi v formuli porazdelitve. Poissonova porazdelitev je v uporabi, ko moramo računati npr. povprečno število klicev na neko telefonsko centralo, povprečno število uporab električnih števcev, skratka skorajda kjerkoli, kjer igra pomembno vlogo časovni dejavnik. Izkaže se tudi, da pod določenimi pogoji Poissonova porazdelitev lahko nadomesti binomsko, kar je lahko koristno, saj je pri velikih vzorcih računanje z njo precej lažje kot z binomsko (kljub težji začetni formuli).

Zgoraj: Geometrijska oblika Poissonove porazdelitve

Naj bo tu dovolj o porazdelitvah. Omenimo morda le še nekatere težje, ki se pojavljajo v »višji« ekonometriji: Paretova, ki jo je Arthur De Vany  uporabil pri razlagi ekonomike filmske industrije, o čemer sem pisal na tem blogu, Beta porazdelitev, Gama porazdelitev in Dirichletova porazdelitev. Več o vseh lahko preberete na povezavah, pa potem morda rečemo kako morebitno besedo tudi na to temo.

Ker je zmanjkalo časa in ker ste verjetno tudi vi že utrujeni, predlagam, da pustimo preverjanje hipotez, torej neposredno uporabo vsega povedanega (predvsem o normalni porazdelitvi) za naslednji zapis. Potrudil se bom, da bo pripravljen čim prej, morda že jutri. Lep pozdrav.

  • Share/Bookmark

8.02.2012

Florida vs. Glaeser: o tezi kreativnega razreda

Zapisano pod: Bloomingtonski zapisi, Kulturna ekonomika — andee - 8.02.2012

Naj bo tole moj kratek prispevek h kulturnemu prazniku. V vseh vrstah urbanistov in prerojevalcev mest prek kulturnih dogodkov je dobro znana, da ne rečem razvpita, teza ameriškega profesorja Richarda Floride. Florida trdi, da mesta s tem, ko privabijo čimveč pripadnikov “kreativnega razreda”, pritegnejo in spodbudijo tudi razvoj mesta. Kaj in kdo je kreativni razred, pove sledeči citat:

“Florida’s theory asserts that metropolitan regions with high concentrations of technology workers, artists, musicians, lesbians and gay men, and a group he describes as “high bohemians”, exhibit a higher level of economic development. Florida refers to these groups collectively as the “creative class.” (vir: http://en.wikipedia.org/wiki/Richard_Florida)

Več o tem, kdo in kaj je “kreativni razred” najdete tudi tule: http://en.wikipedia.org/wiki/Creative_class. Preprosto povedano, bi se teza glasila, da je v primeru, da hočemo preporoditi neko mesto, predel ali regijo, ključnega pomena, koliko pripadnikov takšnega razreda, torej visoko tehnoloških poklicev, umetnikov in glasbenikov, ”visokih” boemov, gejev in lezbijk, uspemo pritegniti v mesto (regijo, predel). Zelo preprost mehanizem, o katerem premišljajo številni “urbani planerji”, tudi pri nas. Pritegnemo kulturnike in kreativce in poženemo razvoj.

Obstaja veliko kritik Floridove teze. Nazadnje sem pred manj kot letom tudi v Sloveniji slišal prostorskega sociologa (in politika) dr. Pavleta Gantarja na neki okrogli mizi izreči, da je sam eden največjih kritikov Floridove teze. Sam pa bi opozoril na kritiko harvardskega profesorja Edwarda L. Glaeserja, ki velja vsaj v kulturno ekonomskih krogih za eno najboljših. Glaeser je v svoji recenziji Floridove knjige The Rise of the Creative Class opozoril, da empirični podatki ne sledijo Floridovim ugotovitvam. Sam je zgolj za preskus “pognal” nekaj osnovnih regresij, tabelo najdete v recenziji sami. Regresije kažejo, da je boljši prediktor rasti prebivalstva (ki mu služi kot približek za razvoj neke regije) čisto golo število visokoizobraženih prebivalcev. Bolj kot indeksi “kreativnih ljudi”, konkretno boemov in gejev torej. Potem, ko se izključi vpliv nekaterih “osamelcev”, sta tako spremenljivki gejev kot boemov odvečni, statistično nesignifikatni. Po domače povedano to pomeni, da je razvoj nekega mesta bolj povezan s prisotnostjo visoko izobraženih kadrov vseh vrst, kot pa specifično z “visokimi kreativci”, tako vsaj trdi oz. nakazuje Glaeser.

Povedano velja za eno glavnih kritik te razvpite teze, že zato je verjetno zanimiv vpogled vanjo, kot tudi v odgovor Floride na Glaeserjevo kritiko. Vsekakor pa je to zanimiva razprava, ki je doživela kar velik odmev v urbanističnih, ekonomskih in kulturnih krogih.

P.S.: Tako profesor Florida kot profesor Glaeser bosta te dni prejela vabilo, da se kot nosilna predavatelja udeležita konference o kulturi in razvoju, ki jo pripravljamo konec leta v sodelovanju z EPK 2012 in Univerzo v Mariboru.

  • Share/Bookmark

5.02.2012

Kratka interaktivna delavnica ekonometrije: Nekaj osnovnih statističnih pojmov

Zapisano pod: Bloomingtonski zapisi, Ekonomija, Kulturna ekonomika — andee - 5.02.2012

Pričenjamo torej z obljubljeno kratko delavnico ekonometrije. Ker se bom morda moral tudi sam sproti poglabljati v nekatere metode in pojme, naj mi bo oproščena kakšna manjša napaka, bom pa seveda kot vedno vesel konstruktivnih komentarjev in opozoril.

V prvem delu najprej poglejmo nekaj osnovnih statističnih pojmov, brez katerih ne moremo nadaljevati dela. Pojme bom razložil tudi zaradi tega, da se bomo lahko sem vračali kadarkoli, ko se bo kak pojem ponovil (kar se bo verjetno zgodilo kar velikokrat).

Pojme podajam po točkah in v upam smiselnem in logičnem vrstnem redu. Pri opisu sem si delno pomagal iz gradiv za predmet Statistika na Fakulteti za družbene vede ter Statistika 1 in 2 na Ekonomski fakulteti. Naj poudarim tudi, da pojme obravnavam zelo na kratko, ker je celotne zgodbe zelo veliko in so tole spodaj res čiste osnove, vsem tistim, ki vas zanima več, prilagam nekaj osnovnih povezav.

 1)      Statistična enota – osnovni element oz. gradnik statističnega preučevanja. V primeru, ki smo ga preučevali v enem predhodnih zapisov, torej npr. dejavniki javne porabe za kulturne dejavnosti, je enota posamezna država, saj nas zanimajo vrednosti te spremenljivke po posameznih državah (in ne npr. na ravni celotne EU ali posameznih gospodinjstev). Ker so nas v tem primeru zanimale predvsem države EU, je bila torej enota posamezna država članica EU (npr. Belgija, Finska, Slovenija).

2)      Populacija – je množica vseh preučevanih elementov oz. enot. Če torej preučujemo kaj vpliva na javno porabo za kulturne dejavnosti, so populacija vse države. V primeru, da nas zanima samo javna poraba za kulturo v EU, je populacija seveda sestavljena samo iz 27 držav EU.

3)      Vzorec -  vsakič, ko napravimo selekcijo izmed enot v populaciji, temu rečemo, da vzamemo v ozir nek določen vzorec v populaciji. V obravnavanem primeru bi lahko tako naključno izbrali 15 držav iz celotne populacije (npr. izmed vseh 27 držav EU). Na podlagi lastnosti vzorca ponavadi s pomočjo statističnih metod sklepamo o lastnostih populacije. Včasih se zgodi, da nas zanima tudi več vzorcev, torej delamo ponavljanja izbiranja vzorcev. V statistični praksi se vzorci najpogosteje izbirajo naključno, možni pa so tudi drugi postopki vzorčenja (o njih ne bi, ker za nas vsaj zaenkrat niso relevantni).

4)      Spremenljivka – neka osnovna lastnost enot, torej ponovno v istem že navedenem primeru npr. ali ima država samostojno ministrstvo, kakšen je BDP države, kakšen je BDP na prebivalca, kakšna je javna poraba za kulturo itd. Ponavadi ločimo odvisne in neodvisne spremenljivke, pri čemer iz lastnosti slednjih sklepamo na lastnosti prvih (zato prvim rečemo odvisne). V primeru, da iz BDP države, povprečne starosti, ali ima država samostojno ministrstvo ali ne, idr. želimo sklepati o velikosti javne porabe za kulturo, je slednje odvisna spremenljivka, vse ostalo navedeno pa so neodvisne spremenljivke. Najpogosteje imamo opravka z eno odvisno ter eno ali več neodvisnimi spremenljivkami.

5)      Parameter – medtem, ko spremenljivko ponavadi opazujemo in je njena vrednost pri izračunu podana, moramo vrednosti parametrov izračunati iz ocenjevanih enačb in modelov. Gre torej za dodatne vrednosti, ki jih moramo izračunati oz. oceniti, da lahko nadaljujemo ocenjevanje modela. Pogosto gre pri tem za koeficiente in vrednosti v regresijskih enačbah.

6)      Vrste spremenljivk – spremenljivke ločimo

1) glede na tip izražanja vrednosti:
a) opisne in
b) številske spremenljivke, slednje delimo na diskretne (torej takšne, ki jih lahko preštejemo), ter zvezne (torej takšne, ki lahko zavzamejo katerokoli vrednost znotraj nekega intervala)

2) glede na tip merjenja:
a) nominalne, ki jih lahko le razlikujemo med seboj (npr. oseba je moškega ali ženskega spola);
b) ordinalne, ki jih lahko uredimo od največje do najmanjše vrednosti ali obratno (primer: odgovori na vprašanje »ali se strinjate z ukrepom nove vlade: 1) zelo ne strinjam, 2) ne strinjam; 3) niti eno niti drugo, 4) strinjam; 5) zelo strinjam; očitno je, da te odgovore lahko rangiramo na lestvici od 1 do 5)
c) intervalne, kjer lahko povemo, za koliko vrednosti spremenljivke se neka enota loči od druge (primer: temperatura po stopinjah Celzija)
d) razmernostne, kjer lahko povemo tudi kolikokrat večja je ena enota od druge (primer: starost, temperatura po stopinjah Kelvina)

Pri delitvi glede na tip merjenja seveda takoj opazimo, da gre delitev v smeri večje zahtevnosti. Tako so ponavadi ordinalne spremenljivke tudi nominalne, razmernostne tudi intervalne in ordinalne in tako naprej. V obratni smeri seveda to ne velja, kar je očitno. Potrebno je opozoriti še na razliko med intervalnimi in razmernostnimi spremenljivkami, ki se bo komu zdela »umetna« in nerazumljiva. Gre zgolj za to, da so razmernostne spremenljivke praviloma naravne oz. absolutne spremenljivke in niso odvisne od dogovorov glede njihove velikosti oz. lege (leta tečejo ne glede na to, kaj si mi o njih mislimo), medtem ko so intervalne spremenljivke določene z nekim dogovorom (npr. kje je »absolutna« ničla – zato je temperatura po stopinjah Kelvina absolutna/razmernostna, temperatura po stopinjah Celzija pa intervalna spremenljivka). Vendar drži, da je prav tu meja včasih prepustna in stvar razprave.

7)      Verjetnost – je mera, s katero ocenjujemo relativno pogostost nekega slučajnega dogodka. Verjetnost se vedno nahaja v intervalu med 0 in 1, pri čemer je verjetnost gotovega dogodka (dogodka, ki se bo čisto zagotovo dogodil) enaka 1, verjetnost nemogočega dogodka pa je enaka 0.

8)      Slučajna spremenljivka – je spremenljivka, katere vrednosti so rezultat ponavljanja slučajnega poskusa, torej poskusa, pri katerem ne moremo vnaprej z vso gotovostjo vedeti, kakšen bo rezultat. Najbolj običajen primer slučajne spremenljivke je metanje kovanca, kjer se tako pismo kot grb zgodita z enako verjetnostjo, torej ½. Spremenljivke, ki niso slučajne, so tiste, katerih vrednost je vnaprej določena, torej ni odvisna od opazovanja oz. poskusa.

9)      Porazdelitev – o njej govorimo pri slučajnih spremenljivkah. Pove nam, kako je verjetnost porazdeljena po zalogi vrednosti spremenljivke, pove nam torej, kakšne so verjetnosti, da spremenljivka zavzame določeno vrednost. Porazdelitev je ponavadi zapisana s porazdelitveno funkcijo (pri zveznih spremenljivkah) ali verjetnostno shemo (pri diskretnih spremenljivkah). Prva podaja funkcijsko enačbo porazdelitve in njene gostote, druga pa samo zapiše posamezne vrednosti spremenljivke ter verjetnosti, da se katera od njih dejansko dogodi.

10)   Pričakovana vrednost – če nek poskus ponavljamo dolgo časa, se frekvence (pogostosti) dogodkov ustalijo pri neki vrednosti. Če torej mečemo kovanec znova in znova, bodo frekvence za pismo in grb vedno bližje ½. Pričakovana vrednost pa pravimo tistemu številu, kjer se ustali vrednost slučajne spremenljivke. Če ima torej met pisma vrednost 1 in met grba 0, potem je pričakovana vrednost enaka 0.5 (oz. ½), toliko bomo torej v povprečju dobili pri ponavljanjih poskusa v vsakem poskusu, če nam vsak met pisma prinese 1 evro in vsak med grba 0 evrov. Lahko bi torej tudi dejali, da je pričakovana vrednost najverjetnejša vrednost slučajne spremenljivke v nekem poskusu.

11)   Moment – je mera, s katero opisujemo obliko neke skupine točk oz. njihove porazdelitve v prostoru. Poznamo središčne momente, ki opisujejo obliko porazdelitve v njenem odstopanju od pričakovane vrednosti (imajo torej »središče«, ki je pričakovana vrednost), ter nesrediščne momente, ki opisujejo porazdelitev nasploh, torej brez katerekoli fiksne (središčne) točke. Momente ponavadi urejamo glede na njihov red: moment prvega reda je pričakovana vrednost (oz. aritmetična sredina, glej naprej); moment drugega reda je varianca (glej naprej); moment tretjega reda je koeficient asimetrije (skewness), moment četrtega reda je koeficient sploščenosti (kurtosis). Drugih momentov na tem mestu ne bomo omenjali. Najpogosteje se uporabljata prva dva, torej aritmetična sredina in varianca.

12)   Aritmetična sredina – je čisto preprosto povprečje vrednosti neke spremenljivke, torej vsota vseh realiziranih vrednosti, deljena s številom vrednosti. Hitro lahko pokažemo, da je v kolikor ponavljamo poskuse do neskončnosti, aritmetična sredina enaka pričakovani vrednosti spremenljivke. V statistiki temu dejstvu pravijo tudi zakon velikih števil (Law of Large Numbers), ki je eno pomembnejših statističnih spoznanj, ki ga uporablja ekonometrija. Drugo podobno in pomembno spoznanje je centralni limitni izrek (Central Limit Theorem). V statistiki poznamo tudi pojma geometrične in harmonične sredine, predvsem pri izračunavanju indeksov, vendar nam na tem mestu to ne bo pomembno.

13)   Varianca – lahko jo opišemo na več načinov. Najprej, je enaka drugemu središčnemu momentu, v skladu s prej povedanim. Pove nam, kakšna je pričakovana vrednost kvadrata odklonov od pričakovane vrednosti spremenljivke (bodite pozorni, da smo tu uporabili pričakovano vrednost dvakrat, prvič (od zadaj) pri izračunu aritmetične sredine, torej pričakovane vrednosti spremenljivke, ter drugič pri izračunu pričakovane vrednosti (torej ponovno aritmetične sredine), vendar tokrat drugačne spremenljivke – kvadrata odklonov od prvotne aritmetične sredine). Varianca je torej mera za razpršenost neke spremenljivke, podobno kot standardni odklon, ki ga predstavljamo v naslednji točki.

14)   Standardni odklon – ker smo veliko povedali že pri varianci, naj bo tu dovolj, da povemo, da gre za koren iz variance (ali drugače rečeno, varianca je kvadrat standardnega odklona). Standardni odklon je mera za odklon vrednosti slučajne spremenljivke od aritmetične sredine. Večji kot je standardni odklon (in večja kot je varianca) bolj razpršene so vrednosti neke spremenljivke.

15)   Mediana – aritmetična sredina nam pove, kakšna je pričakovana vrednost neke spremenljivke. V nasprotju se tem pa nam mediana pove, katera vrednost leži natančno na polovici, torej v sredini vseh vrednosti. Če imamo torej npr. rezultate poskusa takšne: (1,1,2,3,8), je aritmetična sredina enaka 3 (15/5), mediana pa je enaka 2 (saj dve leži na sredini, torej na tretjem mestu med petimi vrednostmi).

16)   Modus – je še tretja mera za »sredinsko« vrednost neke spremenljivke. Modus nam pove, katera vrednost se v rezultatih pojavlja najpogosteje. V zgornjem primeru se najpogosteje (dvakrat) pojavlja vrednost 1, torej je modus te porazdelitve enak 1.

17)   Kvantili – govorjenje o sredinskih vrednostih zaključimo z malce bolj splošnim pojmom, s kvantili. Z njimi izračunamo, kje v porazdelitvi se nahaja posamezna enota v primerjavi z drugimi enotami in njihovimi vrednostmi. Izračun kvantilov je ponavadi malce bolj kompleksen, čeprav še vedno precej preprost. Zelo pogosto so v uporabi 0.5 kvantil, ki je pravzaprav kar enak mediani, saj označuje vrednost, ki je na 50% celotne porazdelitve, torej na sredini razpredelnice. Pogosto uporabljamo tudi kvartile (ki razdelijo porazdelitev v četrtine, poznamo torej 0.25, 0.50 in 0.75 kvartil), decile (ki razdelijo porazdelitev v desetine, torej na 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8 in 0.9 decil) ter centile (ki razdelijo porazdelitev v stotine). V ekonometriji je precej pogosto orodje v zadnjem času t.i. kvantilna regresija, ki jo zanimajo vrednosti parametrov v odvisnosti od lege v porazdelitvi (torej npr. vrednost regresijskega koeficienta v prvem kvartilu).

Toliko, naj bo dovolj za danes. Upam, da je bilo zanimivo, ne preveč težko in pusto, pa tudi z nekaj morda zanimivimi informacijami za tiste, ki to snov že obvladate. Sprejemam seveda feedback, kaj je bilo povedanega v redu in kaj bi lahko bilo bolje oz. drugače. Vsaj zaenkrat se striktno izogibam enačbam, morda se k temu še vrnemo (ker verjetno brez tega ne bo šlo). Naslednjič pa bomo malce podrobneje govorili o preverjanju hipotez (za tiste, ki že malo bolje obvladate, bom nekaj uvodnega povedal tudi o Wald, LR in LM testih, da ne bo preveč dolgčas) in normalni porazdelitvi, torej še o nekaj osnovnih statističnih orodjih, o katerih mora biti govora, preden se podamo zares naprej v »pravo« ekonometrijo. Lep pozdrav.

  • Share/Bookmark

2.02.2012

Predlog prenove javnega sektorja v kulturi

Zapisano pod: Bloomingtonski zapisi, Kulturna ekonomika — andee - 2.02.2012

Po daljšem premisleku tudi tule objavljam dokument, ki je nastal v preteklih dneh in ki predstavlja moj pogled na reformo javnega sektorja v kulturi pri nas. Če bo sprožil kakšno širšo debato toliko bolje, resnično sem mnenja, da je čas, da se ta problem reši. Naj tudi povem, da sam druge resne rešitve problema od predlagane preprosto ne vidim.

IZHODIŠČA – PROGRAM ZA PRENOVO JAVNEGA SEKTORJA V KULTURI IN CELOVITO ORGANIZACIJSKO REFORMO KULTURNEGA PODROČJA V SLOVENIJI

Podajam nekaj izhodišč in predlogov za morebitno razpravo med obema vključenima stranema – politično, torej aktualno koalicijo, ter strokovno, torej kulturniki/umetniki in kulturnimi delavci:

Kultura je javno dobro. Nekaj, kar se marsikomu zdi skorajda prazna in brezpomenska trditev, zato jo je dobro nadalje specificirati. Kulturna ekonomika pozna tri glavne sklope vrednosti kulture: vrednost uporabe (oz. tržno vrednost, torej npr. vrednost vstopnice, ki jo plača vsak obiskovalec npr. neke predstave ali muzeja), ki odraža vrednost, ki jo je nek posameznik pripravljen plačati, da »uporabi« neko kulturno dobrino; vrednosti neuporabe (koncept prevzet iz okoljske ekonomike), torej tiste vrednosti, ki so jih državljani pripravljeni plačati za neko kulturno dobrino, kljub temu, da je morda ne bodo uporabljali (npr. eksistenčna, opcijska, zapuščinska, izobraževalna, identitetna vrednost); ter kulturna vrednost, ki je vrednost neke kulturne dobrine izven ekonomskega sistema, torej vrednost dobrine sama po sebi. Kot je pokazala razprava (Bille Hansen, 1997; Navrud, Ready, 2002; Epstein, 2003; Seaman, 2006; Čopič, Srakar, 2011), so vrednosti neuporabe (edini) način, na katerega lahko ovrednotimo javno vrednost kulture, torej vrednost, ki jo imajo ljudje poleg čiste vrednosti vstopnic, ki so jo pripravljeni odšteti za neko prireditev. Razprava je tudi jasno pokazala, da so v skoraj vseh izvedenih študijah te vrednosti signifikantno pozitivne, kar kaže, da so ljudje pripravljeni plačevati za kulturo tudi izven njene čiste uporabne vrednosti, da torej kulturni dogodki posedujejo javno vrednost. To torej pomeni, da ima kultura tudi javno vrednost, da je javno dobro.

Zakaj je ta ekskurz pomemben? Povedano pomeni, da prepustitev kulture čisto tržnim silnicam preprosto ni ekonomsko optimalen način preskrbe kulture, in da ureditev področja kulture zahteva prisotnost države. V takšni ali drugačni obliki. Seveda pa to ne pomeni, da je vloga države kakorkoli prevladujoča, pač pa zgolj to, da brez nje ne gre, saj trg sam zase ni učinkovit mehanizem preskrbe kulture (prisotnost eksternalij oz. market failure).

Vendar vsi vemo, da je javni sektor (tudi) v kulturi preobsežen, da gre skoraj polovico sredstev iz proračuna ministrstva za kulturo za plače javnih uslužbencev, da je kulturno področje preinstitucionalizirano, ter da sistem spodbud v javnih institucijah zelo pogosto ni zdrav, kar pomeni, da kvalitetno delo pogosto ni primerno spodbujeno, ter da so včasih oz. pogosto prevelika zapravljanja v tem sektorju in neučinkovitost žal podprta s pozitivnimi spodbudami (npr. Niskanen 1968; 1971). Tako večinoma javne institucije niso posebej motivirane za pridobivanje zasebnih sredstev (včasih se jih za to celo »kaznuje« z zmanjšanjem proračuna). V nasprotju s tem so spodbude v zasebnem sektorju (tako nevladnem kot profitnem) bolj vzdržne, saj so zasebne institucije neposredno odvisne od uspeha pri pridobivanju sredstev. Vendar so študije (npr. Čopič, Srakar, 2010) pokazale, da slovensko poslovno okolje na področju kulture, zlasti sistem davčnih olajšav za donatorje in sponzorje, pa tudi stanje kulturnega trga, ni učinkovito, organizacije v zasebnem sektorju pa žal v veliki večini preprosto ne morejo zbrati zadostne vsote na osnovi prihodkov iz tega dela proračuna. Tako so tudi nevladne organizacije, včasih pa celo kulturna »podjetja« (npr. zasebne galerije), odvisne od javnega proračuna. Tudi to je situacija, ki nikakor ni zdrava za stanje slovenske kulture.

Zato je seveda predlog za premik na tem področju jasen. Del javnega sektorja bi bilo smiselno preoblikovati v zasebni nevladni sektor. Številni muzeji po svetu (npr. v ZDA) delujejo kot nevladne organizacije, prav tako gledališča, koncertne hiše in druge institucije. Seveda pa je potrebno ohraniti velik delež tudi javnih institucij, predlog velja le za preoblikovanje smiselnega deleža javnih institucij. »Smiseln delež« naj bo določen po sledečem merilu: z ekonomskimi (in ekonometričnimi) študijami je potrebno ovrednotiti, do katere mere je možno razviti sistem zasebnega investiranja v kulturo v Sloveniji. Doslej sta bili opravljeni dve tovrstni študiji, eno je opravil dr. Bogomir Kovač za pisanje Zakona o zasebnih vlaganjih v kulturo za Ministrstvo za kulturo RS v letu 2005, drugo, že omenjeno sta opravila dr. Vesna Čopič in mag. Andrej Srakar v letu 2010 za združenje Asociacija. Ugotovitve teh študij je nujno potrebno preslikati na dejanske slovenske podatke in ugotoviti, kakšen sistem podpore zasebnim investicijam (donatorstvo, sponzorstvo, kulturni trg, javno zasebna partnerstva, razvoj fundacij, …) v kulturi je najboljši in bi lahko dajal najboljše rezultate. Glede na ugotovitve teh, torej ekonometričnih študij je potrebno čim prej sprejeti ukrepe za izboljšanje poslovnega okolja za nevladne organizacije v kulturi. Te študije bodo tudi pokazale, kakšen delež nevladnih organizacij, preoblikovanih iz javnega sektorja, bi bil še vzdržen, da bi skupaj s tistimi, ki na tem področju že obstajajo, lahko ne le preživeli, pač pa se plodno in uspešno razvijali naprej. V ekonomskem jeziku je potrebno najti Pareto optimalno odločitev, ki ne bo škodila nikomur, ki že deluje na področju, obenem pa bo rešila tako 1) izhodiščni problem preobremenjenega javnega sektorja v kulturi, ki je izhodišče prizadevanj sedanje koalicije, vsaj na dolgi rok, to pomeni, da bodo začetna vlaganja v razvoj poslovnega okolja in nevladnega sektorja v kulturi, na dolgi rok povzročila stabilen in vzdržen razvoj tega sektorja in kulture nasploh, z bistveno manjšim zanašanjem na javni proračun; ter 2) problem kulturnih organizacij, saj s tem ne bodo dejansko ukinjene tako rekoč nobene dosedanje organizacije (ali le tiste, ki jih morda resnično lahko pogrešamo), del sedanjih pa se bo samo strukturno preoblikoval v nevladni sektor, in s tem postal tako manj odvisen od proračuna, kot tudi pričel delovati po bistveno bolj »zdravih« načelih, kar pomeni, da bo sam nosil uspeh ali neuspeh svojega delovanja in odločitev.

Predlagamo torej tri sklope ukrepov, v tem vrstnem redu:

1)      Najprej, hitro vendar strokovno vrhunsko opravljene ekonometrične študije o sistemu davčnih olajšav in spodbujanju in potencialih kulturnega trga v Sloveniji. Raziskave je smiselno opraviti v roku največ devetih mesecev.

2)      Na osnovi rezultatov raziskav, pripraviti sveženj ukrepov za celovito izboljšanje poslovnega okolja za kulturne organizacije v Sloveniji. Ukrepi naj vključujejo spodbujanje donatorstva, sponzorstva, razvoja fundacij, javno-zasebnega partnerstva, kulturnega trga ter vseh drugih oblik zasebnega investiranja v kulturi.

3)      Po prvih učinkih navedenih ukrepov pričetek preoblikovanja dela javnih institucij (predvsem javnih zavodov) v zasebne nevladne organizacije. Preoblikovati je potrebno največ takšen delež, da z ukrepi ne bodo na škodi že obstoječe nevladne organizacije, kot tudi, da bodo preoblikovane organizacije lahko ohranile visoko raven svojih storitev.

Vendar velja opozorilo: enega brez drugega ne more biti. Ukrepi za izboljšanje poslovnega okolja, ki ne bodo temeljili na natančnih predhodnih študijah, so lahko škodljivi in lahko porodijo šibke ali celo nasprotne učinke. Preoblikovanje javnih institucij v nevladne brez izboljšanja poslovnega okolja pa lahko povzroči na eni strani preveč konkurence v tem sektorju, kjer je preživetje že sedaj prava umetnost, in na drugi strani še večje životarjenje in nenazadnje tudi slabe, manj kakovostne kulturne storitve preoblikovanih institucij, česar si prav tako ne želimo. Potrebno je ohraniti tudi določeno mero državne podpore temu sektorju, saj so kulturne dejavnosti, kot smo prej pokazali, javno dobro, prav tako pa so študije (zopet Čopič, Srakar, 2011) pokazale, da tudi zasebne investicije v kulturo temeljijo na vrednostih neuporabe, in so pri svoji uspešnosti zato neposredno odvisne od državne podpore. Kljub temu pa bi se s tem še vedno bistveno zmanjšal javni delež financiranja kulture, tako zaradi preoblikovanih javnih institucij, kot zaradi izboljšanega poslovnega okolja za kulturo v Sloveniji.

Predstavljeni trije sklopi ukrepov pa lahko povzročijo razmah področja kulture pri nas, tudi na dolgi rok (podobno, kot koalicija že načrtuje razmah gospodarstva), in s tem izkoriščenje vseh njenih kulturnih, ekonomskih in socialnih potencialov, ki jih gotovo ima (več o tem npr. v poročilu Evropske komisije 1997 ter poročilu, pripravljenem za evropsko komisijo s strani agencije KEA v letu 2006; nenazadnje pa tudi v velikih poročilih na ameriški ravni organizacije Americans for the Arts iz let 2003, 2007 in 2011).

  • Share/Bookmark

Blog V krizi smisla tiči misel | Zagotavlja SiOL | O Sistemu |